miércoles, 15 de septiembre de 2010

Guisante = Sol


Imagen: elaboración propia
Matemáticas e imaginación
Prólogo
Un hombre inmortal, condenado a cárcel perpetua, podría concebir en su celda toda el álgebra y toda la geometría, desde contar los dedos de la mano hasta la singular doctrina de los conjuntos, y todavía mucho más. Un modelo de ese meditador sería Pascal, que, a los doce años, había descubierto una treintena de las proposiciones de Euclides. Las matemáticas no son una ciencia empírica. Intuitivamente sabemos que tres y cuatro son siete, y no necesitamos hacer la prueba con martillos, con piezas de ajedrez o con naipes. Horacio, para figurar lo imposible, hablo de cisnes negros; mientras pulía su verso, tenebrosas bandadas de cisnes surcaban los ríos de Australia. Horacio no pudo adivinarlos, pero si hubiera tenido noticia de ellos, habría sabido inmediatamente que tres y cuatro de esos lóbregos seres daban la cifra de siete. Russell escribe que las vastas matemáticas son una vasta tautología y que decir tres y cuatro no es otra cosa que una manera de decir siete. Sea lo que fuere, la imaginación y las matemáticas no se contraponen; se complementan como la cerradura y la llave. Como la música, las matemáticas pueden prescindir del universo, cuyo ámbito comprenden y cuyas ocultas leyes exploran.
La línea, por breve que sea, consta de un número infinito de puntos; el plano, por breve que sea, de un número infinito de líneas; el volúmen, de un número infinito de planos. La geometría tetradimensional ha estudiado la condición de los hipervolúmenes. La hiperesfera consta de un número infinito de esferas; el hipercubo, de un número infinito de cubos. No se sabe si existen, pero se conocen sus leyes.
Harto más deleitable que este prólogo son las páginas de este libro. Invito a los lectores a hojearlas y a mirar las extrañas ilustraciones. Abundan en sorpresas. Por ejemplo, las islas topológicas del octavo capítulo; una hoja de papel y con una tijera y que es una increíble superficie de un solo lado.
Jorge Luis Borges

Matemáticas e imaginación
VI. Paradojas perdidas y recuperadas
Dos distinguidos matemáticos polacos, Banach y tarski, han hecho extensivas las deducciones del paradójico teorema de Hausdorff al espacio tridimensional, con resultados tan sorprendentes e increibles que no tienen similar en todas las matemáticas. Y las conclusiones, aunque rigurosas e intachables, son casi tan incríbles para el matemático como para el lego.
Imaginemos dos cuerpos en el espacio tridimensional: uno muy grande, como el sol; el otro muy pequeño, como un guisante. Indiquemos el sol con S y el guisante con S'. Recordemos ahora que nos estamos refiriendo no a las superficies de estos dos objetos esféricos, sino a la "totalidad de las esferas sólidas tanto del sol como del guisante". El teorema de Banach y Tarski afirma que puede llevarse a cabo, teóricamente, la siguiente operación:
Dividamos al sol S en muchísimas partes pequeñas. Cada parte debe ser separada y distinta y la totalidad de las partes será un número finito. Las mismas podrán designarse por s1, s2, s3... sn y, al ser reunidas, estas pequeñas partes formarán toda la esfera S. Análogamente S' —el guisante— debe dividirse en igual número de partes mutuamente exclusivas: s'1, s'2, s'3... s'n, que reunidas formarán el guisante. Luego, la proposición prosigue diciendo que si el sol y el guisante han sido cortados de una manera tal que la pequeña porción s1 del sol sea congruente con la pequeña porción s'1 del guisante, s2 congruente con s'2, s3 congruente con s'3, hasta sn congruente con s'n, este proceso acabará no sólo con todas las pequeñas porciones del guisante, "sino también con todas las pequeñas porciones del sol.
En otras palabras, el sol y el guisante pueden ser divididos en un número finito de partes desunidas "de manera que cada parte simple de uno sea congruente con una única parte del otro, y de tal modo que después que cada pequeña porción del guisante ha sido equiparada con una pequeña porción del sol, no quede libre ninguna de éstas".
Para expresar esta gigantesca explosión de bomba en términos comparables al estallido de un pequeño cohete, diremos: "hay un manera de dividir una esfera grande como el sol, en partes separadas, de manera que ninguna de dos de sus partes tengan puntos comunes y, sin comprimir ni deformar parte alguna, todo el sol puede colocarse cómodamente en el bolsillo del chaleco". Además, podrán disponerse de tal manera las partes componentes del guisante que, sin expansión ni deformación, no teniendo puntos comunes ningún par de sus partes, "llenarán sólidamente todo el universo sin que quede ningún espacio vacío, ya sea en el interior del guisante, o en el universo".
Ciertamente que ningún cuento de hadas, ninguna fantasía de Las Mil y Una Noches (a), ningún sueño afiebrado, puede competir con este teorema de inflexible y rigurosa lógica.

(a) He sustituido en la traducción de José Celdeiro, "las noches árabes" por "Las Mil y Una Noches", ya que en el original inglés está escrito "Arabian nights", que se corresponde con el libro y no con "las noches árabes".
Matemáticas e imaginación
(Traducción: José Celdeiro Ricoy)
Edward Kasner y James Newman

Asombrarse sin vergüenza
Lean el problema de la Torre de Hanoi y compadézcanse de los brahmanes. El libro hace un repaso de las matemáticas, de una manera muy amigable y muy accesible a cualquiera, sea cual sea su nivel matemático. E incluye este nivel el cero.
Les puedo asegurar que hay cosas asombrosas. Imagínense que amarran con una soga la superficie de la Tierra, que mide 40 millones de metros de circunferencia. Y para que se apriete más la soga, la mojan con agua (todos sabemos esto, lo hemos visto mil veces en el cine, en el cómic y en las novelas de aventuras). Y ahora les digo que quiero pasar por debajo de la soga un elefante de guerra, de los de Aníbal, con guerreros y todo. Unos seis metros de altura. Pero como soy un poco cabrón, no les digo por qué punto de la Tierra lo quiero pasar. Así que tienen que separar la soga 6 metros alrededor de toda la circunferencia de la Tierra. La pregunta es ¿cuantos metros más de cuerda, necesitan para que yo pase el elefante de guerra, por donde me salga del arco del triunfo, o seáse, por donde me de la gana?
Son 40 millones de metros o 40.000 kilómetros de cuerda, así que ustedes pensarán del siguiente modo: Se verán a sí mísmos agachándose, cogiendo la cuerda con una mano y mirando hacia arriba, hacia un punto a seis metros y calcularán a ojímetro, cuánta cuerda de más necesitan, teniendo en cuenta que la que está pegada al suelo, mide 40.000 kilómetros, la que ven allí arriba, en su imaginación, igual con 1000 kilómetros más bastaría.
Bueno, pues se lo digo yo: ¡les bastaría con 37 metros! A esa cuerda de 40.000 kilómetros de larga y pegadita a la Tierra, le añaden 37 metros y la pueden separar del planeta, todo en derredor, 6 metros, lo suficiente para que pase un elefante de guerra de Aníbal.

Luis Markos